估算对数
_jhq
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2022-08-27 11:15:11
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个人记录
1、估算常用对数 \lg x
例 1：估算 \lg 2,\ \lg 3,\ \lg 5,\ \lg 7，保留两位有效数字.
$\lg 5=1-\lg 2\approx 0.70$.
$\lg 3=\frac{1}{4}\lg 3^4\approx \frac{1}{4}\lg 80=\frac{1}{4}(3\lg 2+1)=0.48$.
$\lg 7=\frac{1}{2}\lg 7^2\approx \frac{1}{2}\lg 50=\frac{1}{2}(\lg 5+1)=0.85$.
计算器：$\lg 2\approx 0.301,\ \lg 3\approx 0.477,\ \lg 5\approx 0.699,\ \lg 7\approx 0.845$.
### 2、估算自然对数 $\ln x
根据泰勒展开：
$\ln{(1-x)}=-x-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{5}x^5-\cdots$.
$\ln{\frac{1+x}{1-x}}=2(x+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5+\cdots)$.
令 $x=\frac{1}{2n-1}$，$\ln{\frac{1+x}{1-x}}=\ln{\frac{n}{n-1}}\approx \frac{2}{2n-1}$（$n$ 较大时）.
故 $\ln x=\ln{\frac{x}{x-1}}+\ln{(x-1)}\approx \frac{2}{2x-1}+\ln{(x-1)}$.
例 2：估算 $\ln 2,\ \ln 3,\ \ln 5,\ \ln 7$，保留两位有效数字.
$\ln 2=\ln{\dfrac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}}\approx 2(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times (\frac{1}{3})^3)=0.69$.
$\ln 3\approx \frac{2}{5}+\ln 2\approx 1.1$.
$\ln 5\approx \frac{2}{9}+2\ln 2\approx 1.6$.
$\ln 7\approx \frac{2}{13}+\ln 2+\ln 3\approx 1.9$.
计算器：$\ln 2\approx 0.693,\ \ln 3\approx 1.099,\ \ln 5\approx 1.609,\ \ln 7\approx 1.946$.
例 3：估算 $\ln 114514$，保留五位有效数字.
$$\begin{aligned}
&\ln 114514 \\
=&\ln 57257+\ln 2 \\
\approx&\frac{2}{114513}+\ln 57256+\ln 2 \\
=&\frac{2}{114513}+\ln 7157+4\ln 2 \\
\approx&\frac{2}{114513}+\frac{2}{14313}+\ln 7156+4\ln 2 \\
=&\frac{2}{114513}+\frac{2}{14313}+\ln 1789+6\ln 2 \\
\approx&\frac{2}{114513}+\frac{2}{14313}+\frac{2}{3577}+\ln 1788+6\ln 2 \\
=&\frac{2}{114513}+\frac{2}{14313}+\frac{2}{3577}+\ln 447+8\ln 2 \\
\approx&\frac{2}{114513}+\frac{2}{14313}+\frac{2}{3577}+\frac{2}{893}+\ln 446+8\ln 2 \\
=&\frac{2}{114513}+\frac{2}{14313}+\frac{2}{3577}+\frac{2}{893}+\ln 223+9\ln 2\\
\approx&\frac{2}{114513}+\frac{2}{14313}+\frac{2}{3577}+\frac{2}{893}+\frac{2}{445}+\ln 222+9\ln 2 \\
=&\frac{2}{114513}+\frac{2}{14313}+\frac{2}{3577}+\frac{2}{893}+\frac{2}{445}+\ln 111+10\ln 2 \\
\approx&\frac{2}{114513}+\frac{2}{14313}+\frac{2}{3577}+\frac{2}{893}+\frac{2}{445}+\frac{2}{221}+\ln 110+10\ln 2 \\
=&\frac{2}{114513}+\frac{2}{14313}+\frac{2}{3577}+\frac{2}{893}+\frac{2}{445}+\frac{2}{221}+\ln 55+11\ln 2 \\
\approx&\frac{2}{114513}+\frac{2}{14313}+\frac{2}{3577}+\frac{2}{893}+\frac{2}{445}+\frac{2}{221}+\frac{2}{109}+\ln 54+11\ln 2 \\
=&\frac{2}{114513}+\frac{2}{14313}+\frac{2}{3577}+\frac{2}{893}+\frac{2}{445}+\frac{2}{221}+\frac{2}{109}+3\ln 3+12\ln 2 \\
\approx&0+0.0001+0.0006+0.0022+0.0045+0.0090+0.0183+3\times 1.0986+12\times 0.6931 \\
=&11.6477 \\
\approx&11.648.
\end{aligned}$$
计算器：$\ln 114514\approx 11.64845$.
例 4：估算 $\sqrt[114514]{2}$，保留七位有效数字.
$\sqrt[114514]{2}=2^\frac{1}{114514}=e^{\ln{2^{\frac{1}{114514}}}}=e^{\frac{1}{114514}\ln 2}\approx e^{\frac{0.6931}{114514}}\approx e^{6\times 10^{-6}}\approx 1.000006$.
计算器：$1.00000605$.
### 3、估算一般对数 $\log_a b
用换底公式换成 \lg 或 \ln 即可.
例 5：估算 \log_2 3，保留两位有效数字.
用 \lg：\log_2 3=\frac{\lg 3}{\lg 2}\approx \frac{0.477}{0.301}\approx 1.6.
用 \ln：\log_2 3=\frac{\ln 3}{\ln 2}\approx \frac{1.099}{0.693}\approx 1.6.